> 今まで順調にアップロード出来ていたのですが、突然転送しても
> 転送先のDIR（？）が０になったままで転送されません。
> ヘルプを読んだところ、不要なファイルを削除すればよいということは
> わかったのですが、もし不要なファイルがどれもなかった場合、どうすればよいのでしょう？
> 
> 諦めてやはり何かコンテンツを消すしかないのでしょうか？

コンテンツを削るか、ホームページの容量を拡大するか、別の場所に移動するかなどしか
方法はありません。

> あと、アップロードにあたっての空き容量はどうすれば確認できるのですか？

空き容量は、お使いのプロバイダにお問い合せください。