> すでにあるHPの更新作業を任され、
> 
> NEXT-FTPを使って転送し、更新したのですが
> インターネットに接続してチェックしたら
> 「Index of /~○○/」と出てしまいます。

トップページは、プロバイダから指定されたデフォルトのファイル名を使用するようにしてください。

ファイル名を省略したときに表示されるファイルは、「index.html」や「default.htm」など、プロ
バイダにより異なります。大文字小文字を含めてこのファイル名が間違っていないか確認してください。

転送先のフォルダは間違っていないか確認してください。転送先フォルダはホストごとに異なり、通
常、大文字と小文字が区別されます。また、転送先フォルダ内に二重にフォルダを作成していないか
確認してください。

> その画面の中にあるフォルダ型のリンクボタンから入った時に
> ホストの方にそのGIFファイルがあるのに、
> 一部の画像が反映されません。

ホームページ転送前チェックを行ってみてください。ほとんどの問題はこれで発見できます。

> ホスト開始フォルダとローカル開始フォルダに
> 今はどちらにも何も入力してない状態になっています。
> ここの設定に問題があるのでしょうか？

ローカル開始フォルダにはホームページを作成しているフォルダを設定しておく必要があります。
ホスト開始フォルダはプロバイダにより異なります。